Με πατέρα τον ποδοσφαιράνθρωπο Πάμπο Αβρααμίδη ο Λάκης δεν μπορούσε παρά να ασχοληθεί από μικρός με το ποδόσφαιρο. Στα 17 του χρόνια ήταν ήδη στην ομάδα του Ολυμπιακού Λευκωσίας αφού έπαιξε προηγουμένως στους μικρούς. Ήταν το 1962 και προπονητής που τον εμπιστεύθηκε ήταν ο Ελλαδίτης Στράτος αφού ο Πάμπος Αβρααμίδης θα αναλάμβανε τους μαυροπράσινους αργότερα και θα τους οδηγούσε στον πρώτο τους τίτλο.
Ο Λάκης Αβρααμίδης αγωνιζόταν στην μεσαία γραμμή και ήταν ένα αθόρυβο «μηχανάκι» που ξεχώριζε για τη τεχνική του κατάρτιση, το δυνατό σουτ, το πείσμα και το μυαλωμένο παιχνίδι του. Έπαιξε μέχρι το 1970 και κατάφερε να πανηγυρίσει δύο τίτλους πρωταθλήματος με την ομάδα του «Τακτακαλλά» το 1976 και το 1969 και θα αγωνιστεί στην Α΄ Εθνική όπου αγωνιζόταν (μέχρι το 1974) η εκάστοτε πρωταθλήτρια Κύπρου.
Η σπουδαία εκείνη ομάδα του Ολυμπιακού αποτελείτο από τους Φιλώτα, Μιχ. Αργυρού, Σαββάκη, Δημ. Αργυρού, Σωτηράκη, Αβρααμίδη, Ευθυμιάδη, Μ. Μάρκου, Κεττένη, Κ. Πιερίδη, Λουμπουρή, ενώ αργότερα ήταν και οι Βαρνάβας, Παρτασίδης, Γ. Αριστείδου, Μάϊλος, Πρατζιώτης, Ηλιάδης, Ξυπολυτάς.
Άνθρωποι της ΑΕΚ Αθηνών είδαν τον Λάκη Αβρααμίδη και έτσι θα μεταγραφεί στον «Δικέφαλο» παίζοντας το 1970-1972. Και μπορεί να έχασε τον τρίτο τίτλο πρωταθλήματος με τον Ολυμπιακό όμως πανηγύρισε το πρωτάθλημα με την ΑΕΚ το 1971. Προπονητής ήταν ο Μπ. Στάνκοβιτς και μεταξύ άλλων έπαιζαν στην ομάδα και οι Μ. Παπαϊωάννου, Σεραφείδης, Σταθόπουλος, Τόσκας, Καραφέσκος, Σκευοφύλαξ, Κάχρης, Λ. Νικολάου, Π. Βεντούρης, Κ. Νικολαϊδης, Πομώνης, Α. Παπαεμμανουήλ.
Ο Λ. Αβρααμίδης επιστρέφει στην Κύπρο και συνεχίζει την καριέρα του στον Ορφέα Λευκωσίας (έπαιξε στην Β’ Κατηγορία) όπου προπονητής ήταν ο πατέρας του. Το 1974 λόγω της εισβολής και της προσφυγοποίησης (Νεάπολης) θα αναγκαστεί για επαγγελματικούς λόγους να σταματήσει το ποδόσφαιρο στα 29 του χρόνια. Είχε δύο συμμετοχές στην Εθνική.
